1. Coeficientul de zvelteţe, factor de stabilitate

1.1. Stabilitatea molizilor

Arborii, în timpul existenţei lor, sunt supuşi în permanenţă acţiunilor mecanice, de care depinde stabilitatea lor mecanică şi implicit, stabilitatea biologică. Greutatea proprie, masele de aer în mişcare cu sau fără precipitaţii solicită arborii, în special la încovoiere şi compresiune. Intensitatea acestor forţe, corelate cu alţi factori specifici, afectează stabilitatea molizilor, aşa cum este prezentat în figura 1.

1.2. Coeficienţii de zvelteţe

Coeficienţii de zvelteţe (subţirime), exprimă distribuţia în spaţiu a biomasei fusului. Se cunosc două tipuri de coeficienţi de zvelteţe: dendrometric şi mecanic. Expresia matematică a coeficientului de zvelteţe dendrometric λd este raportul dintre înălţimea fusului h (m) şi diametrul de bază d (cm):

Acest coeficient dimensional, transformat în coeficient de zvelteţe adimensional λ este:

Coeficientul de zvelteţe mecanic λm este raportul dintre lungimea de flambaj lf (m) a fusului şi raza de giraţie i (m) a secţiunii transversale:

Pentru o bară de lungime h, încastrată la o extremitate şi liberă la cealaltă extremitate, lungimea de flambaj este:

unde: μ – coeficient care depinde de forma barei şi de modul de încărcare a acesteia.

Raza de giraţie este rădăcina pătrată a raportului dintre momentul de inerţie axial I (m4) şi aria A (m2) a secţiunii transversale. Pentru o secţiune circulară de diametru d raza de giraţie este:

aşa încât:

1.3. Variabilitatea coeficientului de zvelteţe

Din relaţiile (1.1), (1.2) şi (1.6) rezultă în mod evident că mărimile coeficienţilor de zvelteţe sunt în funcţie de mărimile lui h şi d. Aceste mărimi depind însă, la rândul lor, de ritmul lor de creştere, respectiv de clasa de producţie a arboretelor, de vârstă etc. Un prim exemplu de variabilitate a coeficientului de zvelteţe dendrometric este redat în tabelul 1, în care valorile medii ale acestui coeficient, în funcţie de clasa de producţie şi de vârstă, au ca bază de calcul înălţimile şi diametrele din tabelele de producţie.

Un al doilea exemplu de variabilitate, în funcţie de diametrul de bază, este redat de graficul din figura 1.2, ca urmare a măsurătorilor efectuate în U.P. IV, u.a. 74C din Ocolul silvic Coşna, D.S. Suceava, prin aplicarea ecuaţiei de regresie (Horodnic,1999):

unde: y =λd şi x=d.

Arboretul din u.a. 74 C avea vârsta de 70 de ani, clasa a 2-a de producţie, consistenţa 0,7, elagajul 0,5, diametrul mediu 28,0 cm şi înălţimea medie 27,5 m, deci un coeficient de zvelteţe mediu de 0,982 m·cm-1.

Din exemplele expuse, rezultă următoarele: (i) coeficientul de zvelteţe descreşte cu creşterea vârstei, clasa de producţie şi cu diametrul de bază; (ii) coeficientul de zvelteţe este maxim la vârsta de 20-25 ani; (iii) molizii din clasa I-a de producţie sunt cei mai zvelţi; (iv) diferenţa dintre valoarea maximă şi cea minimă este cea mai mare la clasa I-a de producţie şi cea mai mică la molizii din arboretele din clasa a V-a de producţie.

2. Modelul matematic al molidului

2.1. Modelul fusului

Ca model matematic, pentru fusul molidului se iau în considerare trei forme cunoscute: cilindrul – ca formă de referinţă, paraboloidul apolonic şi conul (fig. 2a).

Considerăm un fus de volum V, înălţime h şi diametrele de bază aferente celor trei forme d1, d2 şi d3. Volumele şi diametrele acestor trei forme sunt prezentate în continuare (relaţiile 2.1). Astfel,

– pentru cilindru:

– pentru paraboloid:

– pentru con:

Din relaţiile (2.1) rezultă că:

însă

Rezultă că:

adică cilindrul este mai zvelt decât paraboloidul şi conul.

Din punctul de vedere al coeficientului de formă, la fusul molidului acesta variază între 0,580 la arborii tineri şi 0,325 la cei bătrâni (Leahu, 1994).

Cum însă coeficientul de formă al paraboloidului este 0,500, iar al conului 0,333, iar din punct de vedere biomecanic sunt cvasiforme de egală rezistenţă la încovoiere şi compresiune, adoptarea lor ca modele pentru fusul molidului este justificată. Ecuaţiile curbelor de contur pentru aceste două forme sunt:

– pentru paraboloidul apolonic

– pentru con

2.2. Modelul coronamentului

Pentru coronament, modelul matematic este un con echivalent compact, de înălţime hc, diametru dc şi volum Vc (fig. 2.1b).

Având în vedere proporţiile volumelor fusului cu coajă şi al crăcilor, faţă de volumul suprateran, rezultă că volumul crăcilor este de aproximativ 10 % din volumul fusului, adică Vc = 0,1V, volum concentrat în conul de înălţime hc = 0,1h..

În acest caz, diametrul conului dc este:

3. Sarcinile care solicită molidul

3.1. Forţele active

3.1.1. Greutatea molidului

Greutatea totală a molidului Gt, este formată din greutatea fusului Gf, greutatea coronamentului Gc şi Gr, care este greutatea cioatei plus a sistemului radicelar (rădăcinile + solul aferent) (fig. 3.1):

Deoarece greutatea specifică a crăcilor este dublă faţă de cea a fusului, adică γc =2γ, iar Vc=0,1V, rezultă că greutatea fusului plus a coronamentului G, este:

şi xf = h/2 pentru cilindru, xf = 2h/3 pentru paraboloid şi con, iar pentru coronament xc = 2h/30.

Punctul de aplicaţie al forţei G, conform teoremei momentelor este:

Din relaţia (3.4) rezultă pentru cilindru xG = 0,428h, iar pentru paraboloid şi con xG = 0,567h.

3.1.2. Forţa de presiune a vântului

Presiunea dinamică a vântului într-un punct este:

unde: ρ – densitatea aerului, care depinde de gradul de încărcare a atmosferei cu precipitaţii, alte particule etc.; C – coeficient care depinde de forma corpului care în cazul formelor adoptate are valoarea C –1,0; v – viteza vântului, care creşte cu înălţimea arborelui.

De exemplu, dacă la înălţimea de 10 m de la sol presiunea vântului este de 500 Nm-2, la înălţimea de 40 m este de 740 Nm-2, creşterea fiind aproape liniară.

Având în vedere că suprafaţa de contact a fusului şi coronamentului descreşte cu înălţimea, în timp ce viteza creşte cu înălţimea, în calculul presiunii şi al forţelor de presiune se adoptă o viteză medie constantă pe toată înălţimea.

În acest context, forţa elementară de presiune dP(x) este dP(x) = pdA(x) (fig. 2.1a),

unde:

deci:

unde:

Rezultanta forţelor de presiune a vântului P este:

Rezultantele forţelor de presiune a vântului Pi (i = 1-3), pentru cele trei forme ale fusului şi coronamentului sunt:

– pentru cilindru:

– pentru paraboloid:

– pentru con:

Centrul de presiune al acestor rezultante este:

Se observă că 1 P > P2 > P3, adică forma cilindrică este solicitată mai mult decât cea parabolică şi conică, care sunt foarte apropiate.

Rezultanta forţelor de presiune pe coronament este:

având centrul de presiune la xc = 0,5hc = 0,05h.

3.2. Forţele de legătură (pasive)

Sistemul radicelar al arborilor forestieri poate fi asimilat cu o fundaţie, având o structură foarte complexă, formată din biomasa rădăcinilor şi solul aferent. În acest sistem, rădăcinile formează o reţea complexă de armare a terenului şi de ancorare în acesta.

Lungimea reţelei rădăcinilor creşte cu vârsta. Astfel, la un molid cu diametrul de bază de 8 cm, lungimea reţelei (fără lungimea ramificaţiilor firelor radicelare este de 4200 m, iar la un diametru de bată de 40 cm este de 33.500 m.

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, sub efectul forţelor active, sistemul radicelar este solicitat la tracţiune şi compresiune. Astfel, forţele de legătură sunt reprezentate de: rezultanta T a forţelor elementare de tracţiune, care reprezintă capacitatea de ancorare a sistemului radicelar în terenul aferent, rezultanta C a forţelor elementare de compresiune ale sistemului radicelar şi terenul aferent (fig. 3.1).

Cunoscându-se solicitările mecanice, este foarte importantă cunoaşterea comportamentului molizilor în funcţie de forma şi coeficientul de zvelteţe al fusului.

4. Încovoierea fusului

4.1. Deformaţia fusului

Sub acţiunea vântului, axa fusului se deformează. Fusul se consideră încastrat la nivelul cioatei, fiind solicitat la o sarcină echivalentă uniform distribuită:

– pentru fus pe înălţimea h (fig. 4.1a):

– pentru coronament pe înălţimea hc (fig. 4.1b):

Având în vedere relaţiile (3.10), (3.11), (4.1) şi (4.2) se obţine, pentru cele trei forme ale fusului, intensitatea sarcinii echivalente uniform distribuite qi:

din care rezultă că q1 > q2 > q3.

Aplicând ecuaţia diferenţială a axei deformate a fusului:

unde: E – modulul de elasticitate longitudinală a fusului; I(x) – momentul de inerţie axial geometric al secţiunii (x), care este variabil la paraboloid,

în timp ce la con

unde: I – momentul de inerţie a secţiunii de bază; M(x) – momentul de încovoiere în secţiunea (x);

Se obţin următoarele ecuaţii ale axei deformate a fusului, pentru cazul din figura (4.1.a), cât şi săgeata maximă ym de la vârf:

– pentru cilindru:

– pentru paraboloid:

– pentru con:

Rezultă că: y1m > y2m > y3m (4.8) unde:

Ecuaţia axei deformate a fusului pentru cazul din figura (4.1b) şi săgeata maximă aferentă, este:

Suprapunând efectele celor două solicitări (Yi = yim+ ycim), săgeata maximă totală Yi este: Y1 = 8,078Ks (cilindru), Y2 =1,906Ks (paraboloid) şi Y3 = 1,549Ks (con) relaţia (4.11) aşa încât:

Y1 > Y2 > Y3 (4.12)

Din cele expuse, deformaţia maximă a fusului este dată de relaţia generală:

Reprezentând grafic relaţia (4.12) şi având în vedere variaţia coeficientului de zvelteţe în funcţie de vârstă şi clasa de producţie, rezultă următoarele:

(i) deformaţia maximă a fusului creşte liniar cu intensitatea vântului q şi cu coeficientul de zvelteţe λ la puterea a patra;

(ii) la o viteză a vântului dată, la arborii tineri forţa de presiune este mai mică decât la arborii în vârstă, în schimb coeficientul de zvelteţe este mai mare la cei tineri şi mai mic la cei în vârstă, ceea ce însemnă că

molizii prin forma lor naturală, îşi asigură stabilitatea;

(iii) deformaţia fusului la încovoiere este maximă în general la molizii de 25 ani din clasa 1-a de producţie şi minimă la cei de 120 ani, din clasa a 5-a de producţie;

(iv) forma cilindrică a fusului se deformează mult, în comparaţie cu fusul în formă de paraboloid şi con, ale căror deformaţii sunt foarte apropiate, ceea ce demonstrează încă odată, că natura îşi creează forme optime la solicitările mecanice;

(v) mărimea deformaţiei variază invers proporţional cu mărimea modulului de elasticitate longitudinală E. Acesta depinde însă de specie, greutatea specifică aparentă, umiditate, temperatură, direcţia solicitării în raport cu fibrele, lemnului timpuriu-târziu, defecte, etc. Modulul E creşte cu greutatea specifică, caz în care deformaţia scade, dar acelaşi modul scade cu creşterea umidităţii, caz în care deformaţia creşte. Lemnul târziu are modul mai mare ca lemnul timpuriu.

4.2. Încovoierea fusului în domeniul elastic şi plastic

Formula lui Navier:

redă relaţiile dintre solicitări şi tensiunile axiale, unde: σ – efortul unitar axial;

Pentru σ < σp = limita de plasticitate, deformaţia fusului este elastică.

Pentru σ ≥ σp, deformaţia fusului este plastică (permanentă) (fig. 4.3), caz în care coeficientul de zvelteţe devine coeficient de zvelteţe critic la încovoiere λcrî

Fusul rămâne permanent deformat, cu săgeata maximă critică Ycri:

Ruperea fusului se produce în orice secţiune transversală în care:

5. Flambajul fusului

5.1. Sarcina critică de flambaj

Fusul molidului, pe lângă greutatea proprie şi a coronamentului este solicitat adesea, în plus, şi de greutatea precipitaţiilor, sub diverse forme, particule, etc., caz în care sub acţiunea acestor solicitări poate să flambeze şi chiar să cedeze la rupere.

Greutatea totală la care poate flamba fusul (fig. 5.1), în care este inclusă şi greutatea precipitaţiilor, este dată de sarcina critică de flambaj şi este formată din:

– greutatea proprie a fusului Gf ca rezultantă a sarcinii continue distribuită liniar de la bază la vârf (5.1a):

de unde:

– greutatea coronamentului Gc ca sarcină concentrată în centrul de greutate al coronamentului (fig. 5.1b):

Se cunoaşte că sarcina critică la flambaj este dată de relaţia:

unde: lf – lungimea de flambaj, care în cazul încastrării la o extremitate şi a sarcinilor din figura (5.1) este:

Pentru forma cilindrică a fusului de volum V, înălţime h şi diametru d1,, care are coeficientul de zvelteţe mai mare decât paraboloidul şi conul, prin suprapunerea efectelor, sarcina critică de flambaj este:

de unde coeficientul de zvelteţe critic la flambaj,

Pentru cazul în care secţiunea este variabilă, sarcina critică de flambaj este:

unde φ – coeficient adimensional, funcţie de variaţia secţiunii în lungul axe.

Avem următoarele sarcini critice de flambaj:

– pentru paraboloid:

– pentru con:

Însă φ > 1, iar A3 > A2 > A1 , aşa încât G3cr > G2cr > G1cr. (5.10)

Rezultă deci, că pentru un fus de volum V şi înălţime h, forma conică preia sarcina critică de flambaj cea mai mare.

Din relaţiile 5.5, 5.6 rezultă că sarcina critică flambaj creşte cu scăderea coeficientului de zvelteţe, la puterea a doua (fig. 5.2).

5.2. Flambajul în domeniul elastic şi plastic

Flambajul în domeniul elastic, are loc când:

adică:

Peste această limită, fusul molidului rămâne deformat în domeniul plastic care în cazul că este depăşit, evident că se va rupe.

6. Stabilitatea molizilor la răsturnare (dezrădăcinare)

6.1. Săgeata centrului de greutate a greutăţii G

Săgeata centrului de greutate a forţei G rezultă din relaţiile 4.5-4.8, în care se înlocuieşte x cu xG = αh (0 < α < 1). Pentrucilindru, α = 0,476h, iar pentru paraboloidşi con, α = 0,567h, astfel încât:

6.2. Stabilitatea la răsturnare

Având în vedere schema de sarcini la care este supus molidul (forţe active şi forţe pasive), condiţiile de stabilitate la răsturnare (dezrădăcinare) sunt:

– momentul de stabilitate Ms (al forţelor stabilizatoare în raport cu punctul A,) să fie mai mare ca momentul de răsturnare Mr (al forţelor destabilizatoare în raport cu punctul A);

– capacitatea de ancorare a sistemului radicelar T să fie mai mică decât cea de rupere Tr şi mai mare ca zero:

În momentul în care Ms = Mr şi T = 0, rezultanta C din sistemul radicelar are punctul de aplicaţie în A, care devine o articulaţie ancorată, pe timpul mişcării de răsturnare.

În funcţie de mărimea săgeţii yG, distingem trei situaţii în mişcarea de răsturnare:

Forţa G este o forţă stabilizatoare.

Momentul forţei G este nul.

Forţa G este o forţă destabilizatoare.

În relaţiile 6.4-6.5, s este braţul de pârghie al rezultantei P, adică:

Relaţiile (6.1) au expresia generală:

Când yG = b, coeficientul de zvelteţe devine critic:

Forţa G devine forţă destabilizatoare.

Din relaţiile 6,4-6,7 rezultă că Ms şi Mr sunt funcţii liniare de yG şi, respectiv, de λ1.

Rezultă că, în domeniul yG < b, Ms descreşte, iar Mr este constant, în schimbîn domeniul yG > b Ms este constant, iar Mr creşte.

Din figura 6.1 se observă că stabilitatea molidului la răsturnare este asigurată atunci când mărimile Ms şi Mr se află în interiorul domeniului OABCD.

Bibliografie

Danciu, M., Parascan,D., 2003. Botanică forestieră, Editura „Pentru Viaţă”, Braşov.

Giurgiu, V., et.al., 1972. Biometria arborilor şi arboretelor din România. Editura Ceres, Bucureşti.

Giurgiu, V., Decei, I., 1997. Biometria arborilor din România, Editura Snagov, Bucureşti.

Grudnicki, F., 2003. Bazele stabilităţii arborilor forestieri. Editura Universităţii “Ştefan cel Mare” Suceava.

Horodnic, S., 1999. Cercetări privind structura arboretelor echiene de molid în raport cu densitatea lemnului. Teză de doctorat, Universitatea “Ştefan cel Mare”, Suceava.

Leahu, I., 1994. Dendrometrie. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti.

Redlov, T., 1969. Curs general de rezistenţa materialelor. Institutul Politehnic Braşov.

Zarojanu, D., 2004. Mecanica pământurilor pentru infrastucturi de instalaţii de transport forestiere. Editura AGIR, Bucureşti.

Autorul. Ing. Francisc Grudnicki activează în calitate de cadru didactic asociat la Universitatea „Ştefan cel Mare” Suceava, Facultatea de Silvicultură. Poate fi contactat prin intermediul redacţiei.