1. Introducere

Analiza structurii şi funcţionalităţii ecosistemelor forestiere naturale, neper-turbate de acţiunea omului, ne conduce la ideea că doborâturile produse de vânt constituie un proces normal, natural, perfect integrat în lanţurile biogeochimice ale pădurii. Doborâturile produse de vânt reprezintă o formă de exercitare a funcţiilor ecosistemului, constituind alături de alte procese specifice o formă a eliminării naturale. Pentru ecosistemul forestier analizat la scară mare, ajuns în stadiul de climax, de stabilitate maximă, doborâturile nu constituie un factor perturbator, rata lor încadrându-se în limitele ratei eliminării naturale (Barbu, 1985).

În comparaţie cu pădurea naturală, în cadrul ecosistemelor forestiere în care omul a intervenit prin modificarea structurii şi relaţiilor stabilite între diferitele componente ale ecosistemului, doborâturile produse de vânt depăşesc ca intensitate eliminarea naturală, având o rată mult mai mare, devenind un factor cu acţiune perturbatoare, cu efecte economice şi ecologice negative prin modificarea structurii arboretelor şi prin dereglările de ordin economic pe care le determină.

Hazardele naturale, respectiv doborâturile şi rupturile produse de vânt şi zăpadă de intensitate mare, sunt evenimente rare, dar ţinând seama de orizontul de timp relativ extins ce poate fi cuprins în observaţie se realizează condiţiile ce permit utilizarea modelării statistico-matematice în interpretarea datelor. Aceasta cu atât mai mult cu cât identificarea exactă a cauzelor, dar mai ales a momentelor apariţiei unui astfel de eveniment, are încă un caracter relativ din punct de vedere al posibilităţilor actuale de cunoaştere, doborâturile produse de vânt putând fi interpretate ca fiind aleatoare, supuse legilor hazardului.

Analiza riscului apariţiei evenimentelor extreme este prezentă în toate domeniile de management al riscului. Dacă ne referim la analiza riscului în domeniul economic, ecologic sau social, una dintre cele mai mari provocări în managementul riscului o constituie implementarea unor modele de management al riscului care să permită, pentru evenimente rare dar cu efecte negative ridicate, economice sau ecologice, prognoza şi măsurarea consecinţelor lor.

Abordarea matematică clasică a modelării riscului se bazează pe utilizarea teoriei probabilităţilor. Riscurile reprezintă variabile aleatorii, putând fi considerate individuale sau ca făcând parte dintr-un proces stocastic, în care riscurile prezente depind de riscurile istorice.

Valorile potenţiale ale riscului prezintă o distribuţie de probabilitate pe care noi nu o vom cunoaşte exact, cu toate că riscuri istorice similare sunt cunoscute, dar dispunem de informaţii parţiale asupra parametrilor distribuţiei de probabilitate. Evenimentele extreme apar când riscul depăşeşte o valoare considerată drept limită a acestei distribuţii. Pentru estimarea riscului la doborâturi produse de vânt s-a dezvoltat un model de risc pornind de la o distribuţie de probabilitate particulară – funcţia Gumbel.

Teoria valorilor extreme constituie o ramură a teoriei probabilităţilor, focalizată pe analiza rezultatelor extreme, având aplicabilitate în inginerie, hidrologie, climatologie, finanţe, economie, ecologie, domeniul social etc.

În teoria statistică clasică, valorile extreme sunt tratate ca observaţii dubioase, care se abat de la distribuţia populaţiei, ele fiind eliminate prin intermediul unor teste statistice corespunzătoare.

Teoria valorilor extreme constituie un instrument eficient de estimare a riscului producerii unor evenimente cu efecte catastrofale. Analitic vorbind, se pot diferenţia două mari categorii de modele pentru valorile extreme. Cele două categorii sunt: grupul modelelor de maxim şi grupul modelelor de vârfuri peste limită – POT – peaks-over and threshold. Din prima categorie face parte distribuţia valorilor extreme generalizată, iar a doua categorie este reprezentată de distribuţia Pareto generalizată.

Teoria statistică a valorilor extreme constituie o modalitate eficientă de caracterizare a fluctuaţiilor temporare ale unui fenomen, cu comportament stocastic. Aceas-tă abordare este legată de o serie de înregistrări istorice ale unor manifestări extreme (maxime sau minime) ale fenomenului studiat, în cazul de faţă al doborâturilor produse de vânt.

Metodele statistice de analiză a valorilor extreme pot fi utilizate în estimarea relaţiilor existente între intensitatea doborâturilor produse de vânt şi riscul producerii unor catastrofe eoliene.

2. Material şi metodă

În condiţiile teoremei limitei centrale distribuţia normală constituie cea mai importantă repartiţie, iar familia distribuţiilor valorilor extreme include cele mai importante funcţii de analiză a observaţiilor extreme. Această familie de distribuţii este cunoscută sub denumirea de distribuţia valorilor extreme generalizată (GEV – generalized extreme value distribution).

Funcţia de densitate de probabilitate a distribuţiei valorilor extreme generalizată este dată de relaţia:

Prin particularizare, din distribuţia valorilor extreme se obţin cele trei funcţii de probabilitate la care se limitează teoria valorilor extreme:

– Fisher-Tippet tip I sau funcţia Gumbel pentru ξ = 0;

– Fisher-Tippet tip II sau funcţia Frechet pentru ξ > 0 cu parametrul de formă α = 1/ξ;

– Fisher-Tippet tip III sau funcţia Weilbull pentru ξ < 0 cu parametrul de formă α = -1/ξ.

Dacă se introduce parametrul de localizare şi cel de scală, respectiv μ şi σ > 0 se obţine distribuţia valorilor extreme generalizată triparametrică dată de relaţia 2.

Estimarea parametrilor distribuţiei valori-lor extreme generalizată se face prin metoda momentelor. Primele trei momente pentru o variabilă randomizată X, definite în termenii distribuţiei GEV sunt date de relaţiile (Kharin & Zwiers, 2000):

Aceste trei modele permit modelarea distribuţiei valorilor extreme de minim sau de maxim. În literatura de specialitate sunt recomandate în special funcţia Gumbel şi Weilbull.

Distribuţia valorilor maxime de tip I, respectiv modelul Gumbel, prezintă o largă aplicabilitate, deoarece se bazează pe ipoteza că distribuţia variabilei analizate prezintă o limită superioară care tinde la ∞ şi este de tip exponenţial şi include cele mai importante funcţii de probabilitate, respectiv normală, lognormală, gama etc. Interesant de remarcat este faptul că distribuţia Gumbel reprezintă un proces stocastic, constituit dintr-o colecţie de variabile aleatorii care sunt independente şi identic distribuite. Presupunem că doborâturile produse de vânt cu efecte catastrofale sunt date de variabilele aleatoare X₁, X₂, …, X_n, care arată numărul de doborâturi produse de vânt cu intensitatea i din n doborâturi înregistrate într-un an. Dacă variabilele X_i sunt independente şi identic distribuite, atunci funcţia de probabilitate cumulată pentru intensitatea maximă anuală Y este dată de funcţia Gumbel:

unde σ reprezintă parametrul de scală, iar μ parametrul de localizare.

Estimarea parametrilor distribuţiei Gumbel se realizează prin metoda momentelor.

Acest model statistic de analiză şi modelare a evenimentelor extreme a fost aplicat pentru estimarea probabilităţii producerii unor catastrofe eoliene de intensitate mai mare decât o valoare limită considerată având la bază datele statistice privind doborâturile produse de vânt la nivel european în perioada 1860-1999 (Doll, 1992, actualizat) (fig.1).

Fig. 1. Cronologia doborâturilor produse de vânt în Europa între 1860 şi 1999 Windthrow chronology in Europe between 1860 and 1999

3. Rezultate

Într-o primă etapă de analiză s-a procedat la estimarea parametrilor modelului Gumbel prin metoda momentelor în baza datelor cronologice privind intensitatea doborâturile produse de vânt la nivel european. Modelul Gumbel cumulat estimat este dat de relaţia 5 (fig. 2).

Din analiza modelului se poate observa că distribuţia Gumbel trunchiată (limitată la intensităţi ale fenomenului mai mari de 1 milion m³) constituie o estimaţie satisfăcătoare a repartiţiei intensităţii catastrofelor eoliene la nivel european. S-a adoptat reprezentarea grafică în scară logaritmică pentru intensitatea maximă. În domeniul observaţiilor cuprinse între 1 şi 3 milioane m³, modelul Gumbel nu reprezintă estimaţia optimă.

De aceea, s-a procedat la elaborarea unui model probabilistic de estimare a frecvenţei doborâturilor extreme prin gruparea datelor cronologice în clase de mărimi, respectiv gruparea evenimentelor eoliene extreme în clase în raport cu intensitatea lor (tabelul 1).

Tabelul 1. Frecvenţa doborâturilor produse de vânt înregistrate la nivel european în perioada 1860-1999, pe clase de intensitate

Windthrow frequencies registered at the European level between 1860-1999, by intensity classes

În baza acestor date primare s-a procedat la estimarea parametrilor modelului Gumbel prin metoda momentelor.

Scopul modelării statistice prin metoda evenimentelor extreme îl constituie elaborarea unui model de estimare a riscului producerii unei catastrofe eoliene având o intensitate mai mare decât o limită dată, într-o perioadă de timp. De aceea, în baza modelului Gumbel estimat, s-a calculat probabilitatea producerii unei doborâturi de

Modelul Gumbel, cuantificat în baza datelor privind doborâturile produse de vânt grupate în clase de intensităţi, are forma:

Reprezentarea grafică a modelului Gumbel este redată în figura 3. Din analiza grafică se observă că modelul Gumbel estimează foarte bine distribuţia experimentală privind doborâturile produse de vânt la nivel european, grupate în clase de intensitate.

4. Concluzii

Din analiza rezultatelor se observă că probabilitatea producerii unei doborâturi cu un volum calamitat mai mare de 1 milion m³ este de 0,36, iar a unei doborâturi cu un volum mai mare de 20 milioane m³ este de numai 0,06. Modelarea probabilităţii de apariţie a doborâturilor produse de vânt cu ajutorul modelului Gumbel a permis elaborarea unui model probabilistic de estimare a riscului apariţiei unei doborâturi de intensitate k într-o perioadă de timp t, redat grafic în figura 4.

În baza acestui model se observă că numărul probabil al doborâturilor cu un volum calamitat mai mare de 1 milion m³ variază de la 3 doborâturi într-o perioadă de 10 ani până la 14 doborâturi în 50 ani. Probabilitatea producerii unei doborâturi cu un volum calamitat mai mare de 20 milioane m³ este de una la 20 ani.

Perioada de revenire, respectiv intervalul de timp dintre două doborâturi de intensitate k variază de la 3,6 ani pentru doborâturi mai mari de 1 milion m³, 8,5 pentru un volum calamitat mai mare de 10 milioane m³ şi de 72 ani pentru doborâturi cu un volum afectat mai mare de 30 milioane m³. Utilizarea teoriei valorilor extreme în elaborarea unor modele probabilistice de cuantificare a riscului producerii unor fenomene cu efecte economice, ecologice sau sociale importante, cum sunt doborâturile produse de vânt, constituie o etapă modernă de analiză şi management a riscurilor.

Bibliografie

Barbu, I., 1985. Doborâturile de vânt – abordare ecosistemică, manuscris Staţiunea Experimentală de Cultura Molidului Câmpulung Moldovenesc, 20 p.

Doll, D., 1992. Les cataclysmes eoliens dans les forets d’Europe: aperçu historique. Foret Entreprise, 77, p. 8-9.

Kharin V. V., Zwiers F. W., 2000. Changes in the Extremes in an Ensemble of Transient Climate Simulations with a Coupled Atmosphere-Ocean GCM, Canadian Centre for Climate Modelling and Analysis, Victoria, B.C., Canada, 74 p.

Summary: Modeling of temporal dynamics of windthrow by extreme events method

This paper presents a likehood model for estimating the risk of windthrow by extreme value analysis. We use the Gumbel model for modelling the catastrophic windthrow at the European level through that we can estimate the probability to appear wind damage with k intensity in a t time period. The return period of a wind damage with an intensity above 1 million m³ is 3.6 years, and above 10 million m³ is 8.5 years.